Почему не включается xbox?

Вывод: мигание и погасание кнопки без изображения на экране обычно значит проблему с блоком питания или с самой платой, а не с телевизором или кабелем. Причины: б/у приставки часто страдают именно блоком питания после долгой эксплуатации, реже перегрев платы от старой термопасты внутри. Проверьте индикатор на самом блоке питания отдельно, если он не светится вообще, дело там.

Судя по описанию — мигнула и погасла кнопка, а не осталась гореть ровно — дело почти наверняка не в телевизоре и не в кабеле хдми, раз вы уже проверяли разные порты. У приставок такое поведение чаще всего связано с блоком питания, который со временем изнашивается, особенно если устройство покупалось бывшим в употреблении и его историю никто толком не знает. Реже причина в самой материнской плате внутри консоли, перегрев от старой пересохшей термопасты тоже может давать похожую картину коротких вспышек индикатора. Разберите для начала внешний блок питания отдельно от консоли и проверьте, есть ли на нём собственный индикатор работы, если он не загорается вообще, проблема именно там, и это чинится проще, чем плата внутри самой приставки.